媒介変数表示についてわからない部分があります

[ゲスト]

［B］の方です。
シャーペンで囲ってるところが［B］の解答解説なんですが、自分の中で再現性のない解答で困っています。

黄色のマーカー引いてる方の解答は、Pが楕円を描くって最初からわかってないとこんな風にかけません。
軌跡の問題かつ垂直二等分線が、でてきたら楕円（双曲線も？）を連想すべきものなのでしょうか？

もう一つの別解の方も、媒介変数θを消しに行くのは理解できますが、計算がとてもややこしく感じます。
ここの計算は頑張ってやり切らないといけないところですか？他に別解ありませんか？
よろしくお願いいたします。