図形の性質の応用問題の解答をお願いします。

[nagano]

数学の質問です
(2）と(3）の解き方を教えてください
(2）答えは2＋2√7cm
(3）答えは12＋4√7cm²
相似や三平方の定理、余弦定理などは理解d家いていますので使っていただいても構いません。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

(2)
$線分APは円Oの直径だから\angle AQP=90^{\circ}$
$△APQは直角二等辺三角形なので$
\[ AQ=PQ=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \]
三平方の定理より
\[ CQ=\sqrt{8^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14} \]
ここで、$線分PCは円O^{\prime}の直径だから \angle CBA=90^{\circ}$
$△ABCは直角二等辺三角形であるから$
\[ BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{AQ+CQ}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{14}}{\sqrt{2}}
=2+2\sqrt{7} \]

(3)
$△ABCの面積は$
\[\frac{1}{2} \cdot (2+2\sqrt{7})^2=16+4\sqrt{7} \]

$△APQの面積は$
\[\frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2})^2=4\]
\[(四角形PBCQの面積)=△ABC-△APQ=12+4\sqrt{7} \]

[nagano]

直角三角形を多用すればいいのですね。完全にわかりました。ありがとうございました。また機会があればよろしくお願いします。