順列の応用問題について質問があります

[keisuke]

なぜ重複順列なのかわかりません。答えがないので、最初から説明していただいてもよろしいでしょうか。普通に順列でいけると思ったら違うみたいです。どなたか解答をお願いいたします。

[harrier48math]

4個の球を3つの箱に入れる問題を解説します。この問題は、球と箱を区別するかどうかで考え方が変わるので、
そこをしっかり理解します。

まず、「区別する」と「区別しない」という言葉の意味を確認します。

・区別する: それぞれの物が違うものとして認識できる状態です。例えば、球に番号（①、②、③、④）が書い
てあったり、箱に名前（A、B、C）が書いてあったりする場合、球や箱を区別できます。

・区別しない: それぞれの物が同じものとして認識する状態です。例えば、球がすべて同じ色で区別がつかなかっ
たり、箱がすべて同じ形で区別がつかなかったりする場合、球や箱を区別しません。
では、問題を見ていきます。

(1) 球も箱も区別しない場合

この場合は、球の個数だけが重要になります。つまり、4個の球をどのようにグループ分けするかを考えます。例えるなら、おはじきを3つのグループに分けるような感じです。

・(4, 0, 0): 4個の球を1つの箱に入れる。これは、4個全部を1つのグループにするということです。

・(3, 1, 0): 3個の球が入った箱と1個の球が入った箱がある。これは、3個のグループと1個のグループに分けるということです。

・(2, 2, 0): 2個の球が入った箱が2つある。これは、2個のグループが2つできるということです。

・(2, 1, 1): 2個の球が入った箱と1個の球が入った箱が2つある。これは、2個のグループと1個のグループが2つできるということです。
これ以外に分け方はありません。したがって、4通りです。

(2) 球は区別するが、箱は区別しない場合

球には番号（①、②、③、④）が付いていると考えます。箱は区別しないので、どの箱に何個の球が入っているかだけが問題になります。

・(4, 0, 0): ①②③④が同じ箱に入る場合、これは1通りです。

・(3, 1, 0): 例えば、①②③が同じ箱に入り、④が別の箱に入る場合です。どの3個を選ぶかで₄C₃ = 4通りあります（₄C₃は「4個から3個を選ぶ組み合わせの数」という意味です）。

・(2, 2, 0): 例えば、①②と③④がそれぞれ別の箱に入る場合です。どの2個を選ぶかで₄C₂ = 6通りありますが、①②と③④の組み合わせと、③④と①②の組み合わせは同じなので、6 ÷ 2 = 3通りです。

・(2, 1, 1): 例えば、①②が同じ箱に入り、③と④がそれぞれ別の箱に入る場合です。どの2個を選ぶかで₄C₂ = 6通りあります。
合計で1 + 4 + 3 + 6 = 14通りです。

(3) 球も箱も区別する場合

この場合は、各球がどの箱に入るか、どの箱に何個入るかまで区別します。各球には3つの選択肢（箱A、箱B、箱C）があります。

・球①はA、B、Cのいずれかの箱に入ることができます。

・球②もA、B、Cのいずれかの箱に入ることができます。

・球③もA、B、Cのいずれかの箱に入ることができます。

・球④もA、B、Cのいずれかの箱に入ることができます。

したがって、3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴ = 81通りです。これは「重複順列」という考え方です。

(4) どの箱にも少なくとも1個は球を入れる場合 (球も箱も区別する)

これは少し難しいです。「少なくとも1個は入れる」という条件があるので、すべての箱に球が入っている状態だけを考えます。

・まず、(3)と同様にすべての入れ方（81通り）を考えます。そこから、1つ以上の箱が空になっている場合を引きます。これは「包除原理」という考え方を使います。

・1つの箱が空の場合: 空にする箱の選び方が₃C₁ = 3通り。残りの2つの箱に4個の球を入れる方法は2⁴ = 16通り。よって、3 × 16 = 48通り。

・2つの箱が空の場合: 空にする2つの箱の選び方が₃C₂ = 3通り。残りの1つの箱に4個の球を入れる方法は1通り。よって、3 × 1 = 3通り。

ここで、1つの箱が空の場合を計算する際に、2つの箱が空の場合を重複して引いてしまっています。そのため、

81 - 48 + 3 = 36通り

となります。以上です。