三角関数の演習問題の解説をお願いします

[ゲスト]

数学の以下の問題が分からないので、教えていただきたいです。よろしくお願いします（ ; ; ）
BC＝17、CA＝9、AB＝10である三角形ABCの内心をI（英語のアイ）とし、Iから各辺BC、CA、ABにおろした垂線の足をそれぞれP、Q、Rとする。

（1）PC、QA、RBの長さを求めよ。
（2）tan C/2を求めよ。

[ゲスト]

(1)
いま、$CP、CQ、AQ、AR、BR、BP$はいずれも内接円Iに対する接線になる。
すると、円外の点から引いた接線の長さは等しくなることから、
$CP=CQ,AQ=AR,BR=BP$
が成り立つ。

ここで、$CP=CQ=x、AQ=AR=y、BR=BP=z$とすると、
$CA=CQ+AQ=x+y=9 \cdots ①$
$AB=AR+BR=y+z=10 \cdots ②$
$BC=BP+CP=z+x=17 \cdots ③$
という3つの関係式が得られる。
①、②、③から$x,y,z$を求めると、$x=8、y=1、z=9$となる。
すなわち、$PC=8、QA=1、RB=9$となる。

(2)
三角形の内心は、三角形の内角の二等分線の交点なので、
\[ \frac{C}{2}=\angle ICP \]となる。
いま、$線分IPとPC$は垂直に交わるので、直角三角形$CIP$について考えると、
\[ \tan{\frac{C}{2}}=\tan{\angle ICP}=\frac{IP}{PC}…☆\]
となることが分かる。
[1]で$PC=8$と分かっているので、後はIPを求めればよいことになる。

ここで、$IP$は内接円の半径であるから
三角形ABCの面積をSとし、この内接円の半径をrとすると、
\[ S=\frac{1}{2} \times r \times (AB+BC+CA) …★ \]
という関係が得られます。

$△ABC$について余弦定理を用いると、
\[ \cos{C}=\frac{CA^2+BC^2-AB^2}{2 \times CA \times BC}=\frac{9^2+17^2-10^2}{2 \times 9 \times 17}=\frac{15}{17} \]
と求められる。
いま、$\sin{C}>0$であることから、$\sin^{2}{C}+\sin^{2}{C}=1$ であることを用いると、
\[ \sin{C}=\sqrt{1-\cos^{2}{C}}=\sqrt{1-(\frac{15}{17})^2}=\frac{8}{17}\]
となるので、$△ABC$の面積は
\[S=\frac{1}{2} \times CA \times BC \times \sin{C}=\frac{1}{2} \times 9 \times 17 \times \frac{8}{17}=36 \]
となる。

★の式に$S,AB,BC,CA$を代入すると、
\[ 36=\frac{1}{2} \times r \times (10+17+9)\]
$36=18r$
となるので、$r=2$

従って、$IP=r=2$となることから、☆より
\[ \tan{\frac{C}{2}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \]
と求められる。